Введение в линейную алгебру: Геометрия уравнения собственных значений

Уравнение собственных значений $Ax = \lambda x$ представляет редкое геометрическое условие, при котором преобразование матрицы действует просто путем растяжения вектора, а не поворачивая его. Эти «исключительные» векторы $x$ определяют главные оси линейного преобразования.

Геометрия исключительности

Для большинства векторов $Ax$ указывает в другом направлении, чем $x$. Собственные векторы особенные, потому что они остаются на одной прямой (линии) через начало координат. Собственное значение $\lambda$ сообщает нам величину этого растяжения:

$|\lambda| > 1$: Рост (растяжение).
$|\lambda| < 1$: Упадок (сжатие).
$\lambda < 0$: Обратное направление (переворот).

Ограничение на вырожденность

Уравнение $Ax = \lambda x$ можно переписать как $(A - \lambda I)x = 0$. Чтобы существовал ненулевой решение $x$, матрица $(A - \lambda I)$ должна быть вырожденной (невырожденной), что означает, что ее определитель должен быть равен нулю: $\det(A - \lambda I) = 0$.

Единичная матрица и сдвиги

Если мы сдвигаем матрицу на единичную матрицу, собственные векторы остаются одинаковыми, но собственные значения смещаются на 1:

$Ax = \lambda x \implies (A+I)x = Ax + Ix = \lambda x + x = (\lambda + 1)x$

От проекции к отражению

Понимание геометрии проекции $P$ позволяет получить отражение $R$ через линейный оператор $R = 2P - I$.

Если $x$ — собственный вектор $P$ с собственным значением $\lambda$, то:

$Rx = (2P - I)x = 2(Px) - Ix = 2(\lambda x) - x = (2\lambda - 1)x$

Это объясняет, почему проекция (собственные значения 1 и 0) преобразуется в отражение (собственные значения 1 и -1).

🎯 Основные формулы

Собственные значения и собственные векторы находятся по формуле $\det(A - \lambda I) = 0$. Если $A$ — 2×2 и вырождена, то её строки являются кратными $(a, b)$, а собственный вектор — $(b, -a)$.

$Ax = \lambda x \quad | \quad R = 2P - I$

ВОПРОС 1

К какому из этих классов матриц относятся $A$ и $B$, если $A$ проецирует векторы на прямую, а $B$ отражает векторы относительно той же самой прямой?

A: Проекция, B: Марковская

A: Проекция, B: Ортогональная

A: Перестановка, B: Диагонализируемая

A: Обратимая, B: Проекция

ВОПРОС 2

Решите систему $du/dt = Au$, где $A = [0, 1; 1, 0]$ и $u(0) = [4, 2]$.

$u(t) = 3e^t[1, 1] + e^{-t}[1, -1]$

$u(t) = 4e^t[1, 0] + 2e^{-t}[0, 1]$

$u(t) = e^{2t}[3, 1] + e^{-2t}[1, 1]$

$u(t) = 2e^t[1, 1] + 2e^{-t}[1, -1]$

ВОПРОС 3

При изменении матрицы $\Delta A$ какова формула для изменения собственных значений $\Delta \lambda_1, \dots, \Delta \lambda_n$?

$diag(S \Delta A S^{-1})$

$diag(S^{-1} \Delta A S)$

$diag(\Delta A S)$

$S^{-1} diag(\Delta A) S$

ВОПРОС 4

Если $J = [\lambda, 1; 0, \lambda]$, какова форма $J^k$ для произвольного целого числа $k$?

$[\lambda^k, k; 0, \lambda^k]$

$[\lambda^k, k\lambda^{k-1}; 0, \lambda^k]$

$[\lambda^k, 1; 0, \lambda^k]$

$[k\lambda, 1; 0, k\lambda]$

ВОПРОС 5

Найдите собственные значения $A = [1, 4; 2, 3]$ и $A + I = [2, 4; 2, 4]$. Какое утверждение верно?

$A+I$ имеет другие собственные векторы, чем $A$.

Собственные значения $A+I$ смещены на 1 относительно $A$.

Определитель $A+I$ такой же, как и у $A$.

$A+I$ невырождена, потому что $A$ вырождена.

Вызов: SVD и локальная чувствительность

Дана матрица $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$. Найдите собственные значения и единичные собственные векторы $A^T A$. Затем завершите SVD и оцените знак собственных значений в локальной окрестности.

1. Найдите собственные значения $A^T A = \begin{bmatrix} 10 & 20 \\ 20 & 40 \end{bmatrix}$ и единичные собственные векторы $v_1, v_2$.

$A^T A$ вырождена, поэтому $\lambda_2 = 0$. След равен 50, значит $\lambda_1 = 50$. Собственный вектор для $\lambda_1$ — $v_1 = \frac{1}{\sqrt{5}}(1, 2)$. Собственный вектор для $\lambda_2$ — $v_2 = \frac{1}{\sqrt{5}}(2, -1)$.

2. Найдите $u_1 = Av_1/\sigma_1$ и проверьте, что это единичный собственный вектор $AA^T$.

$\sigma_1 = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. $Av_1 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} 5 \\ 15 \end{bmatrix}$.
Разделив на $5\sqrt{2}$, получаем $u_1 = \frac{1}{\sqrt{10}} \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}$. Проверка: $AA^T u_1 = \begin{bmatrix} 5 & 15 \\ 15 & 45 \end{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{10}} \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{10}} \begin{bmatrix} 50 \\ 150 \end{bmatrix} = 50 u_1$. Верно.

3. Предположим, что тесты для 2×2: $a > 0$ и $ac - b^2 > 0$ выполнены. (i) Почему $\lambda_1, \lambda_2$ имеют одинаковый знак? (ii) Почему этот знак положительный?

(i) Их произведение $\lambda_1 \lambda_2$ равно определителю ($ac - b^2$), которое положительно. (ii) Их сумма $\lambda_1 + \lambda_2$ равна следу ($a + c$). Поскольку $a>0$ и $c > b^2/a > 0$, след положителен.